종합 연습과 이해도 체크
수치 계산과 개념을 묻는 문제를 번갈아 풀고, 1차원 스칼라 버전 칼만 필터의 흐름을 통째로 확인한다.
마지막은 종합 문제로 마무리입니다. 수치 계산과 개념을 묻는 문제를 번갈아 풀고, 1차원 스칼라 버전 칼만 필터의 흐름을 한 번 통째로 확인해 주세요.
종합 연습을 푸는 방법
"먼저 숫자를 따라가고 → 그다음에 설정의 의미를 판단한다"는 순서로 풀어 주세요. 손계산 문제는 종이에 중간식을 쓰면 더 잘 정착됩니다. 문제는 Q1〜Q12의 통합 번호로 나열되어 있습니다.
종합 연습 1 — 1 스텝째를 통째로 내기 (Q1〜Q4)
초기값 x̂₀ = 0, P₀ = 3, Q = 1, R = 4, 첫 관측 z₁ = 8 로 예측 → 업데이트의 흐름을 한 번 따라갑니다.
Q1. Q1: 예측 분산 P₁⁻ = P₀ + Q 는 얼마입니까?
P₁⁻ = 3 + 1 = 4 입니다.
Q2. Q2: 칼만 게인 K₁ = P₁⁻ / (P₁⁻ + R) 은 얼마입니까?
K₁ = 4 / (4 + 4) = 0.5 입니다.
Q3. Q3: 업데이트 후의 추정값 x̂₁ 은 얼마입니까?
관측과 예측의 차이는 8 − 0 = 8 이므로 x̂₁ = 0 + 0.5 × 8 = 4 입니다.
Q4. Q4: 업데이트 후의 분산 P₁ 은 얼마입니까?
P₁ = (1 − 0.5) × 4 = 2 입니다.
종합 연습 2 — 2 스텝째로 이어 가기 (Q5〜Q8)
앞 문제의 결과 x̂₁ = 4, P₁ = 2 를 사용하여 두 번째 관측 z₂ = 6 을 처리합니다.
Q1. Q5: 예측 분산 P₂⁻ 는 얼마입니까?
P₂⁻ = 2 + 1 = 3 입니다.
Q2. Q6: 칼만 게인 K₂ 는 얼마입니까?
K₂ = 3 / (3 + 4) ≈ 0.4286 입니다.
Q3. Q7: 업데이트 후의 추정값 x̂₂ 는 얼마입니까?
관측과 예측의 차이는 6 − 4 = 2 이므로 x̂₂ ≈ 4 + 0.4286 × 2 ≈ 4.8571 입니다.
Q4. Q8: 업데이트 후의 분산 P₂ 는 얼마입니까?
P₂ ≈ (1 − 0.4286) × 3 ≈ 1.7143 입니다.
종합 연습 3 — 설정의 의미를 판단하기 (Q9〜Q12)
마지막은 수치 계산과 개념을 묻는 문제를 번갈아 풉니다. 설정의 의미를 말로 설명할 수 있는지 확인합니다.
Q1. Q9: "관측은 꽤 좋지만 모델은 그다지 믿을 수 없다"에 가까운 조합은 무엇입니까?
모델이 틀리기 쉬우면 Q 를 크게, 관측을 신뢰할 수 있으면 R 을 작게 설정합니다.
Q2. Q10: 다음 중 "더 매끄럽지만 변화에 대한 추종은 느린" 추정을 만들기 쉬운 조합은 무엇입니까?
Q 를 작게 R 을 크게 하면 예측 쪽을 강하게 남기므로 매끄러워지지만, 갑작스러운 변화에는 지연됩니다.
Q3. Q11: 예측 분산 P⁻ = 0.5, 관측 노이즈 R = 4 일 때의 칼만 게인 K 는 얼마입니까?
K = 0.5 / (0.5 + 4) ≈ 0.1111 입니다. 예측의 불확실성이 작고 관측은 다소 의심스러우므로 관측으로는 조금만 끌려갑니다.
Q4. Q12: 1차원 스칼라 버전 칼만 필터의 흐름을 가장 적절히 나타낸 것은 무엇입니까?
칼만 필터는 "예측 → 관측과의 차이를 본다 → 칼만 게인으로 섞는다 → 분산도 업데이트한다"의 반복입니다.
여기까지 이해하면 할 수 있는 것
K 와 P 의 식으로 설명할 수 있습니다.