업데이트 단계 — 관측으로 예측을 수정하다
관측과 예측의 차이(이노베이션)를, 칼만 게인의 비율만큼 사용하여 예측을 업데이트하는 절차를 숫자로 따라간다.
예측이 끝나면 다음은 관측을 보고 수정합니다. 수정량을 결정하는 중심은 관측과 예측의 차이(이노베이션)입니다.
관측과 예측의 차이(이노베이션)
관측과 예측의 차이를 y = z − x̂⁻ 로 둡니다. 이것이 양수이면 관측은 예측보다 위, 음수이면 아래에 있습니다. 이 차이는 "예측하지 못한 부분의 새로운 정보"를 나타내기 때문에 영어로는 innovation(이노베이션)이라고 합니다. 본 강좌에서는 이후로도 관측과 예측의 차이(이노베이션)이라고 한국어와 함께 표기합니다.
y = z − x̂⁻관측으로 예측을 얼마나 수정할까
관측과 예측의 차이를 그대로 전부 쓰는 것이 아니라, 칼만 게인 K 를 곱한 만큼만 수정합니다. K 의 내용(P⁻와 R로부터 결정되는 식)은 다음 장에서 다룹니다.
x̂ = x̂⁻ + K yK 가 0 에 가까우면 예측 쪽, 1 에 가까우면 관측 쪽입니다.
이해도 확인 1 — 관측과 예측의 차이(이노베이션)으로 관측을 받아들이기
관측과 예측의 차이(이노베이션) y = z − x̂⁻ 과 칼만 게인 K 를 사용해 추정을 한 스텝 움직입니다. 또한 K 의 내용은 다음 장에서 다루므로, 여기서는 값이 주어진 것으로 사용해 주세요.
Q1. 예측값 x̂⁻ = 10, 관측 z = 14 일 때, 관측과 예측의 차이(이노베이션) y 는 얼마입니까?
y = 14 − 10 = 4. 차이가 양수일 때는 관측이 예측보다 위에 있습니다.
Q2. 이어서 K = 0.25 일 때, 업데이트 후의 추정값 x̂ 은 얼마입니까?
x̂ = x̂⁻ + K y = 10 + 0.25 × 4 = 11. 관측 쪽으로 25 % 만큼 끌려간 형태가 됩니다.
Q3. 예측값 x̂⁻ = 18, 관측 z = 10 일 때, 관측과 예측의 차이(이노베이션) y 는 얼마입니까?
y = 10 − 18 = −8. 관측이 예측보다 작으면 이 차이는 음수가 됩니다.
Q4. 이어서 K = 0.75 일 때, 업데이트 후의 추정값 x̂ 은 얼마입니까?
x̂ = 18 + 0.75 × (−8) = 12. 차이가 음수일 때, 추정은 아래쪽으로 되돌려집니다.
관측을 받아들인 후, 불확실성은 줄어든다
관측을 반영한 뒤에는 추정의 불확실성도 업데이트합니다. 이것은 업데이트 단계의 두 번째 중요한 식으로, 추정값의 수정과 함께 반드시 같이 계산합니다.
P = (1 − K)P⁻신뢰할 수 있는 관측을 반영한 만큼, 업데이트 후의 분산 P 는 반드시 작아집니다(R > 0 이면 0 < K < 1 이므로 P = (1 − K)P⁻ < P⁻).
이해도 확인 2 — 업데이트 후의 분산과 극단적인 K
업데이트 후의 분산 P 를 계산하고, K 가 극단적인 값이 되는 경우를 생각합니다.
Q1. 예측 분산 P⁻ = 8, K = 0.25 일 때, 업데이트 후의 분산 P = (1 − K)P⁻ 는 얼마입니까?
P = 0.75 × 8 = 6. 관측을 받아들인 후, 추정의 불확실성은 작아집니다.
Q2. K = 0 일 때의 업데이트로 올바른 것은 무엇입니까?
K = 0 이면 x̂ = x̂⁻ 로 관측은 쓰이지 않습니다. 극단적으로 예측만 믿는 상태입니다.
Q3. K = 1 일 때의 업데이트로 올바른 것은 무엇입니까?
K = 1 이면 x̂ = z. 관측을 전면적으로 채택하고, 업데이트 후의 분산도 0 이 됩니다.
이 장에서 가져가는 직감
업데이트는 "관측과의 차이를, 얼마나 믿는지에 따라 섞는" 조작입니다. 다음 장에서는 이 "얼마나 믿는지"를 결정하는 K 의 내용을 살펴봅니다.