칼만 게인 — 예측과 관측 중 어느 쪽을 얼마나 믿을 것인가
칼만 게인 K 는 '예측과 관측 중 어느 쪽을 얼마나 믿을지'를 결정합니다. Q 와 R 의 비가 동작을 지배하는 감각을 잡아 봅시다.
이 장의 주인공은 칼만 게인 K 입니다. 스칼라 버전에서는 식이 매우 단순하므로, 무슨 일이 일어나고 있는지 직관적으로 이해하기 쉽습니다.
K 를 결정하는 식
K = P⁻ / (P⁻ + R)P⁻ 가 클수록 "예측은 수상하다", R 이 클수록 "관측은 수상하다"입니다. 분자와 분모의 관계만으로 어느 쪽을 얼마나 믿을지 결정됩니다.
이 형태가 나오는 이유는, 추정값을 x̂ = (1 − K)x̂⁻ + K z 처럼 선형으로 섞을 때 업데이트 후의 분산 P = (1 − K)² P⁻ + K² R 을 최소화하는 K 를 구하면 K = P⁻ / (P⁻ + R) 이 되기 때문입니다. 즉 칼만 게인은 "예측과 관측을 선형으로 섞었을 때, 섞은 후의 불확실성이 최소가 되도록 하는 가중치"가 됩니다. 최적 K 를 대입해서 정리하면 본문에서 사용하는 P = (1 − K)P⁻ 라는 간단한 형태가 됩니다. 본 강좌에서는 이 유도는 결과만 받아들이고, 분자에 예측의 불확실성, 분모에 예측과 관측의 불확실성의 합이라는 형태만 기억하면 충분합니다.
이해도 확인 1 — K 를 식으로 구하기
K = P⁻ / (P⁻ + R) 의 분자와 분모에서 어느 쪽을 얼마나 믿을지 생각해 봅니다.
Q1. 예측 분산 P⁻ = 9, 관측 노이즈 R = 1 일 때, 칼만 게인 K 는 얼마입니까?
K = 9 / (9 + 1) = 0.9 입니다. 관측 노이즈가 작으므로 관측을 꽤 강하게 믿습니다.
Q2. 예측 분산 P⁻ = 1, 관측 노이즈 R = 9 일 때, 칼만 게인 K 는 얼마입니까?
K = 1 / (1 + 9) = 0.1 입니다. 관측이 꽤 불확실하므로 예측 쪽을 강하게 남깁니다.
Q 는 P⁻ 를 통해 K 에 작용한다
Q 는 직접 K 에 들어가지 않지만, P⁻ = P + Q 를 통해 영향을 줍니다. 모델을 의심할수록 예측 분산이 커지고 관측 쪽으로 움직이기 쉬워집니다.
이해도 확인 2 — Q 는 P⁻ 를 통해 K 에 작용한다
P = 2, Q = 3, R = 5 에서, 먼저 P⁻, 다음으로 K 를 구합니다.
Q1. 예측 분산 P⁻ = P + Q 는 얼마입니까?
P⁻ = 2 + 3 = 5 입니다. Q 의 효과는 먼저 여기에 나타납니다.
Q2. 이어서 칼만 게인 K = P⁻ / (P⁻ + R) 은 얼마입니까?
K = 5 / (5 + 5) = 0.5 입니다. Q 는 P⁻ 를 통해 K 에 작용합니다.
Q3. R 을 고정한 채 Q 를 크게 하면, 일반적으로 칼만 게인 K 는 어떻게 됩니까?
Q 가 늘면 P⁻ = P + Q 가 커지고, 관측 쪽으로 끌어당기는 비율 K 도 커집니다.
업데이트 후의 분산까지 한 번에 잇기
K 를 구했다면 업데이트 후의 추정값뿐 아니라 업데이트 후의 분산까지 반드시 이어서 확인합시다. 이것으로 다음 시각의 예측을 시작할 수 있습니다.
이해도 확인 3 — K 에서 업데이트 후의 분산까지 잇기
K 를 구했으면, 업데이트 후의 추정값뿐만 아니라 분산 P = (1 − K)P⁻ 까지 반드시 함께 구합니다.
Q1. 예측 분산 P⁻ = 5, 관측 노이즈 R = 5 일 때, 칼만 게인 K 는 얼마입니까?
K = 5 / (5 + 5) = 0.5 입니다. 예측과 관측을 반반씩 믿는 상태입니다.
Q2. 이어서 업데이트 후의 분산 P = (1 − K)P⁻ 는 얼마입니까?
P = (1 − 0.5) × 5 = 2.5 입니다. 관측을 50 % 만 채택한 뒤 불확실성(분산)이 절반으로 감소합니다.
이 장에서 얻어 갈 직감
칼만 게인은 '예측과 관측 중 어느 쪽을 얼마나 믿을까'를 하나의 숫자로 모은 것입니다. Q 와 R 의 비를 변경하기만 해도 동작의 특성이 결정됩니다.