聚合與解模糊化 — 回到單一輸出

觸發強度表示「要把輸出的峰由上方限制在哪個高度」

再次整理前一章的結果，在 26°C / 68% 時，聚合後的主張為下面這兩條。

這可以讀作「將中風的峰在 0.50 的高度削平、將強風的峰在 0.25 的高度削平」。削平（clipping）是指對原本的三角形或梯形隸屬函數施加上限，讓它絕對不會超過觸發強度的高度。觸發強度為 0.50 的規則代表該輸出標籤最多只能發揮到 0.50，因此把峰的頂端在 0.50 處水平切掉，得到一個梯形。即使有多條規則對應到同一個標籤，最後在輸出側每個標籤也只會留下一個被削平的峰。

為什麼採用削平：把觸發強度解讀為該規則的「作用上限」。峰上的任何部分都不應超過此上限作用，因此將峰的頂端水平壓低是最自然的操作。也可以改用以觸發強度為峰整體做乘法的縮放（Larsen 法），但 Mamdani 方式以削平（用 min 截斷）為標準。

精確的重心法 — 連續形式的定義

把削平後的兩個峰疊加在一起的結果，記為輸出軸 x 上的函數 μ_agg(x)。重心法（centre of gravity，COG）就是把這個函數的重心當成單一連續值讀出，定義如下。

u = ∫ x · μ_agg(x) dx / ∫ μ_agg(x) dx

實作上會把 x 離散化為 0, 1, 2, …, 100，將積分換成求和。

u = Σ ( x · μ_agg(x) ) / Σ μ_agg(x)

逐步追蹤精確重心法 — 26°C / 68% 的情境

本課程的模擬器以 1 為間隔掃描輸出軸 x = 0..100，並對每個 x 依下列步驟計算 μ_agg(x)。

1. 對 x 計算各輸出標籤（弱風 / 中風 / 強風）的隸屬函數，得到隸屬度 μ_low(x), μ_med(x), μ_high(x)。
2. 以各自的聚合高度（low = 0.00、medium = 0.50、high = 0.25）作為上限進行削平：
   μ_low_clipped(x) = min(μ_low(x), 0.00) = 0
μ_med_clipped(x) = min(μ_med(x), 0.50)
μ_high_clipped(x) = min(μ_high(x), 0.25)
3. 取三者的最大值：μ_agg(x) = max(μ_low_clipped, μ_med_clipped, μ_high_clipped)。
4. 把 x 從 0 移到 100，分別累加 x · μ_agg(x) 與 μ_agg(x)。

本課程的輸出標籤為 弱風 = trimf(x, 0, 20, 40)、中風 = trimf(x, 30, 50, 70)、強風 = trimf(x, 65, 85, 100)。以 1 為間隔加總後（雖屬近似計算）會得到大致如下的數值。

Σ μ_agg(x)        ≈ 27.45      (面積)
Σ x · μ_agg(x)    ≈ 1703.00    (一階矩)
u = 1703.00 / 27.45 ≈ 62.05    (重心)

模擬器顯示的「62.05%」就是這個值。它把輸出軸上「中風梯形（高度 0.50・x = 30~70）」與「強風梯形（高度 0.25・x = 65~100）」連同重疊部分視為一個整體圖形，然後讀出該圖形重心的 x 座標。

手算時用標籤中心近似法就足夠

精確版是積分（或 100 點求和），紙上計算太費力。因此引入標籤中心近似法。它只取每個輸出標籤的「最契合點」（三角形的頂點）為代表點，將重心以加權平均的方式近似。

low = 20, medium = 50, high = 85   (各標籤的中心點)
u ≈ (20×low + 50×medium + 85×high) / (low + medium + high)

本例中的高度為 low = 0.00、medium = 0.50、high = 0.25，所以

u ≈ (20×0 + 50×0.50 + 85×0.25) / (0 + 0.50 + 0.25)
  = 46.25 / 0.75
  = 61.67

相對於精確重心 62.05，近似得到 61.67，誤差在 0.4 點以內。當標籤是對稱的三角形且大致等距排列時，標籤中心近似法是精確重心法的良好近似。本課程練習題在無特別說明時，請以標籤中心近似法作答。

為什麼重心法好用